Funktionen und Gleichungen

Schnittpunkte

 

    
 

Eine wesentliche Kompetenz im Umgang mit linearen Funktionen, ist die Bestimmung von Schnittpunkten der zugehörigen Graphen. Eine klassische Aufgabenstellung hierzu wäre etwa:

Ein Fußgänger und ein Radfahrer starten zu verschiedenen Zeitpunkten in gleicher Richtung. Der Fußgänger läuft um 12 Uhr mit der Geschwindigkeit von 5 km/h los. Der Radfahrer versucht, ab 13 Uhr mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h den Fußgänger einzuholen.
Wann (und wo) hat der Radfahrer den Fußgänger eingeholt?

    
 

 

Bei geeigneter Wahl eines Koordinatensystems lässt sich der Ort sF des Fußgängers zur Zeit t mittels der linearen Funktion

(Alternative 1) oder (Alternative 2)

darstellen.

Interpretieren Sie die Bedeutung von t bei beiden Alternativen.

  

 

 

 


Lösung
         
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Aufgabe:

Stellen Sie analog passende Alternativen zum Ort sR des Radfahrers dar.

 

Lösung
         

 

Um den Zeitpunkt zu bestimmen, in dem der Radfahrer den Fußgänger einholt, hilft die Überlegung, dass in diesem Moment beide am gleichen Ort sind. Es gilt zum (unbekannten) Einholzeitpunkt also:

SF = SR bzw.

Alternative 1 Alternative 2



( =1h 20 min)

(= 13.20 Uhr)

Der Zeitpunkt des Einholens findet nach 1h 20 min Stunden statt. Die Uhrzeit beim Einholen ist 13.20 Uhr.
Nach der Bestimmung des Einholzeitpunkts lässt sich der Ort bestimmen. Hierzu wird die berechnete Zeit in eine der beiden Gleichungen SF oder SR eingesetzt:

Bei beiden Alternativen ist der Einholort km vom Startpunkt des Fußgängers entfernt.

 

 
       
 

Allgemein:

Das eingangs gestellte Problem lässt sich unabhängig von realen Gegebenheiten in allgemeiner Form folgendermaßen darstellen:

Gegeben sind zwei lineare Funktionen: (I) und (II)

Gesucht ist eine Lösung des Gleichungssystems bzw. der Schnittpunkt der beiden zugehörigen Geraden (Graphen der lin. Funktionen).
Hierzu bestimmt man zunächst über die Gleichung

die x-Koordinate des Schnittpunkts:

Durch Einsetzen von xS in (I) oder (II) ergibt sich die zugehörige y-Koordinate yS.
Die Lösung des Gleichungssystems ist dann L={(xS;yS)}.

 

  
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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Schnittpunkte folgender Geraden:

A: y = 2x+3 und y = -3x+2
B: y = 2x+3 und y = 2x+4
C: y = 2x+3 und 17y = 34x + 51

Stellen Sie jeweils die Geraden graphisch dar und interpretieren Sie den Zusammenhang zwischen Lösungsmenge und Zeichnung.

  

Lösung für A
Lösung für B
Lösung für C

       
 

Bei der Bestimmung des Schnittpunkts zweier Geraden bzw. der Lösungsmenge zweier linearen Gleichungen können sich drei Fälle ergeben:

1) Das Gleichungssystem hat keine Lösung; das heißt bei geometrischer Interpretation, dass die zugehörigen Geraden parallel und nicht identisch sind.

2) Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung; das heißt, die Geraden schneiden sich in einem Punkt.

3) Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen; das heißt, die durch die Gleichung gegebenen Geraden sind identisch.

  

 

 

 

 

       
 

Kurz nachgedacht:

1) Bestimmen Sie die Schnittpunkte folgender Geraden (im Kopf!):

A: y = 2x + 3 und der x-Achse (y=0)
B: y = 2x + 3 und der y-Achse
C: y = 2x + 3 und der Parallelen zur x-Achse: y = 1

2) Gegeben ist die Gerade g: y = 2x + 3. Nennen Sie Gleichungen für Geraden, die
a) g schneiden.
b) parallel zu g verlaufen. (Begründung!)

  

 

 

Lösung

 

 

Lösung