VHB | Grundlagen der Arithmetik

Das Komplement einer Menge

Definition 4: "Komplement"

Sei M eine Grundmenge und A

M.
Die Menge aller Elemente, die zu M aber nicht zu A gehören, nennt man Komplement von A bezüglich M.

Formal:

= { x

A }.

Beispiel:

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und A = {1, 2, 5}
dann gilt:

= {3, 4, 6 }

Satz 5: "Doppelkomplement"

Wenn A eine Menge ist,
dann ist das Komplement vom Komplement von A die Menge A selbst.

Formal: = A.

Beweis

Beispiel:	M = {1, 2, 3, 4, 5} und A = {2, 3, 4}
	dann gilt:	= { 1, 5 } = { 2, 3, 4 } = A

Satz 6: "Komplement und Teilmenge"

Seien A und B Mengen.
Wenn A B,
dann gilt .

Beweis

Erweiterung des Komplementbegriffs

Definition 5: "Mengendifferenz"

Seien A und B Mengen.
Die Menge aller Elemente, die in B aber nicht in A liegen, nennt man die
Mengendifferenz von A in B.
Formal: B \ A: = { x x B und x A }.

Beispiel:	A = {1, 2, 3, 4, 5} und B = {3, 5, 7, 8, 9}
	dann gilt: B \ A = {7, 8, 9}

Satz 7: "Mengendifferenz"
a)	Wenn A eine Menge ist, dann ist die Mengendifferenz von A in A die leere Menge. Formal: A \ A = .

Beweis

b)	Wenn A eine Menge ist, dann ist die Mengendifferenz der leeren Menge in A die Menge A selbst. Formal: A \ = A.

Beweis

Übung:

Stellen Sie verschiedene Möglichkeiten zu folgender Situation graphisch dar: "A ist keine Teilmenge des Komplements von B."

Mögliche Lösungen