VHB | Grundlagen der Arithmetik

Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) sind in der Bruchrechnung oder im Sachrechnen von Bedeutung.
In diesem Kapitel werden Eigenschaften von und Zusammenhänge zwischen ggT und kgV behandelt.

Definition 1: "Vielfachenmenge"

Sei a .
Man nennt V(a) = { x a x } die Vielfachenmenge von a.

Beispiele:	V(1) =
	V(4) = {4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}
	V(n) = {n, 2n, 3n, 4n, 5n, 6n, ...}

Definition 2: "gemeinsame Teiler und Vielfache"

Seien a, b .
Man nennt jedes Element von T(a) T(b) gemeinsamen Teiler
von a und b
und jedes Element von V(a) V(b) gemeinsames
Vielfaches von a und b.

Beispiel:	T(8) T(12) = {1, 2, 4}
	V(8) V(12) = {24, 48, 72, ...}

Definition 3: "ggT und kgV"

Seien a, b .
Man nennt das größte Element in T(a) T(b) den größten gemeinsamen Teiler ggT(a,b) von a und b
und das kleinste Element von V (a) V(b) das kleinste gemeinsame Vielfache kgV(a,b) von a und b.

Beispiel:	ggt (32, 40) = 8
	kgV (32, 40) = 160

ggT durch Teilermengen
(funktioniert nur bei installiertem OpenOffice)

Definition 4: "teilerfremd"

Seien a, b .
Man nennt a und b zueinander teilerfremde Zahlen, wenn
T(a) T(b) = {1}.

Beispiele:	7 und 24 sind teilerfremd.
	7 und 28 sind nicht teilerfremd.

Kurz nachgedacht:

Zeigen Sie,
1. dass je zwei verschiedene Primzahlen teilerfremd zueinander sind und
2. dass (würde man Definition 4 auf erweitern) 1 die einzige zu 0 teilerfremde Zahl wäre.