Ausgangspunkt eines jeden Teilgebietes der Mathematik ist ein System von Aussagen, das sogenannte Axiomensystem .
Man kann sich ein Axiomensystem als Sammlung von Spielregeln vorstellen (ganz wie z.B. Schachspielregeln), nach denen ein "Spiel gespielt" wird, das man je nachdem "Geometrie", "nichteuklidische Geometrie", "Arithmetik", "Lineare Algebra", ... nennt.

Vereinfacht dargestellt, kann man die Arbeit eines Mathematikers letztlich als die Suche beschreiben, welche Spielzüge möglich sind. Er versucht, Aussagen zu finden und zu beweisen, die sich aus dem Axiomensystem  folgern lassen. Schließlich münden diese Aussagen in die zu  gehörige Theorie Th(. Die Theorie zeigt die möglichen Varianten und Spielzüge auf, die auf Grund der Spielregeln erlaubt sind.
Modelle zu  und Th ( imitieren, vervollständigen und stiften Sinn zu Axiomatik und Theorie.

Im mathematischen Alltag sind diese drei Bereiche nicht so strikt voneinander zu trennen, sondern sie beeinflussen sich wechselseitig und tragen zu stetig wachsender Klarheit bei. Einem Modell einer mathematischen Theorie entspricht das konkret und korrekt durchgeführte Schachspiel, das Teile der Theorie aufgreift und in die Praxis umsetzt.

Präsenzaufgabe:

Erläutern Sie Axiomensystem, Theorie und Modell am Beispiel des Volleyballspieles (wahlweise auch eines anderen Ballspieles)

Es gibt zwei Möglichkeiten für die Entstehung eines Axiomensystems:

Aus einem bereits bestehenden mathematischen Bereich heraus stellen sich prinzipielle Fragen nach Existenz und Eindeutigkeit. Man versucht die implizit gegebenen und verwendeten Axiome heraus zu präparieren und als solche kenntlich zu machen. Nach dieser Klärung lassen sich dann Sätze dieser Theorie eventuell neu formulieren oder sie bestätigen sich in ihrer alten Form. (Modell  Axiomensystem  Theorie)

Andererseits kann man auch willkürlich neue Axiomensysteme erfinden und so neue Theorien entstehen lassen. Wie wirkungsvoll eine solche Theorie dann ist, hängt davon ab, ob Modelle konstruierbar sind, die nach diesen Axiomen und Theorien arbeiten.
(Axiomensystem   Theorie  Modell)

Kursiv evtl. GANZ WEG??

Die Anforderungen an ein korrektes formuliertes Axiomensystem sind Unabhängigkeit, Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit.

• Die Unabhängigkeit der Axiome untereinander erzwingt, dass nur ein Minimalsystem an Aussagen entsteht; kein Axiom ist überflüssig oder lässt sich aus anderen Axiomen herleiten.
• Die Vollständigkeit des Systems erlaubt zu entscheiden, ob eine diesem Bereich zugehörige Aussage  aus dem Axiomensystem folgt oder nicht gilt; es darf also kein Axiom zu wenig sein.
• Die Widerspruchsfreiheit garantiert, dass aus den Axiomen nicht gleichzeitig eine Aussage und ihr logisches Gegenteil gefolgert werden kann.

Präsenzaufgabe:

Übersetzen Sie die Begriffe Unabhängigkeit, Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit in der Situation des Volleyballspieles (wahlweise auch eines anderen Ballspieles).

Wir werden im Folgenden zwei Axiomensysteme genauer untersuchen: