Ein ähnliches, häufig im Schulunterricht betrachtetes Problem ist das der Optimierung einer Getränkedose. Für ein festgesetztes Volumen, etwa 0,33 Liter, soll der Materialverbrauch minimiert werden. Als Vereinfachung wählt man als Modell, dass die Getränkedose zylinderförmig ist. Die Höhe soll von uns variabel gewählt werden können, so dass sich aus dem Volumen und der gewählten Höhe der Durchmesser (bzw. Radius) der Dose ergibt. Für eine erste Modellierung bestimmen wir nicht direkt den Materialverbrauch für die Dose, sondern lediglich die Oberfläche. Unsere vereinfachende Annahme besteht also darin, die Stärke des verwendeten Blechs zu vernachlässigen.

Erste Modellierung: Optimierung bzgl. der Oberfläche

Für das Volumen der Dose gilt: \( V_{Zyl} \ = \ r^2 \cdot \pi \cdot h \).

Für die zugehörige Oberfläche gilt: \( O_{Zyl} \ = \ 2 \cdot r^2 \cdot \pi + h\cdot 2 \cdot \pi \cdot r \)

Eine Lösung lässt sich manuell natürlich berechnen. Wir sind in unserem Modellierungsprozess allerdings wesentlich flexibler, wenn wir die mathematsichen Formeln mit einer Simulation wie GeoGebra umsetzen und damit gleich ein Werkzeug zur Verfügung haben, mit dem wir verschiedene Modellparameter untersuchen können.

Zweite Modellierung: Betrachtung der Materialstärke

Eine zweite, etwas realistischere Modellierung soll nun tatsächlich die Materialstärke betrachten. Wir haben nun zwei Zylinder zu betrachten: Die Dose selbst, sowie den Hohlraum in der Dose. Der Hohlraum soll das Volumen der Getränkedose gänzlich fassen, das Volumen der Dose ist dementsprechend etwas größer. Eine Internetrecherche ergibt, dass das Ausgangsmaterial für die Dosen etwa 0,21 mm dick ist, aber nach dem Abstrecken auf 0,07 mm reduziert werden kann.

Auch hier verwenden wir eine entsprechende GeoGebra-Simulation, um die Parameter Volumen, Höhe der Dose und Materialstärke variieren zu können.

Fazit aus beiden Modellierungen

Die mathematischen Resulatate (die Höhe der Getränkedosen) sind in beiden Modellen sehr ähnlich zueinander. Der Hauptunterschied besteht darin, einschätzen zu können, wann die Vereinfachung - statt der Materialstärke lediglich die Oberfläche zu betrachten - zu einem validen Resultat führt. Darüber hinaus lassen sich mit der zweiten Modellierung weitreichender Schlüsse ziehen. So kann etwa festgestellt werden, um wie viel der Materialverbrauch pro Dose bei einer optimalen Dose im Vergleich zu einer "schönen" Dose abnimmt. Rechnet man dies auf die 3,9 Milliarden Dosen, die im Jahr 2019 verkauft wurden (Quelle: statista.com), hoch, so ergibt sich eine Ersparnis von rund 40.000 Tonnen Metall.