Satz 1.

\(f : [a,b] \to \mathbb R\) und \(g : [a,b] \to \mathbb R\) seien auf dem Intervall \([a,b]\) differenzierbar und die Ableitungen \(f^{\prime}\) und \(g^{\prime}\) auf \([a,b]\) seinen stetig. Dann gilt

\[\int\limits^b_a f^{\prime}(x)g(x)\,\mathrm d{x} = f (x) g (x) \Bigl|^b_a - \int\limits^b_a f (x) g^{\prime} (x)\,\mathrm d{x}\]



Beweis:

\(\Bigl(f (x) g (x)\Bigr)^{\prime} = f^{\prime} (x) g (x) +f (x) g^{\prime} (x)\) D.h. \(f (x) g (x)\) ist eine Stammfunktion von \(f^{\prime} (x)g (x) + f (x) g^{\prime} (x)\). Daher gilt

\[\int\limits^b_a \Bigl(f^{\prime} (x) g (x) + f (x) g^{\prime}(x)\Bigr)\,\mathrm d{x} = \Bigl(f (x) g (x)\Bigr) \Bigl|^b_a\]

und aus \(\int \Bigl(b_1 (x) + b_2 (x)\Bigr)\, \mathrm d{x} =\int b_1 (x)\, \mathrm d{x} + \int b_2 (x)\,\mathrm d{x}\) folgt \[\int\limits^b_a f^{\prime} (x) g (x)\,\mathrm d{x} = \Bigl( f (x) g(x)\Bigr)\Bigl|^b_a -\int\limits^b_a f (x) g^{\prime} (x)\,\mathrm d{x}\]

\(\square\)