Substitution

Beispiel 7
Beginnen wir mit einem Beispiel. Gegeben sei der Ausdruck \(\cos\left(\frac{\pi}{2}(x-1)^2\right)\pi(x-1)\). Es fällt auf, dass \(\pi(x-1)\) gerade die Ableitung von \(\frac{\pi}{2}(x-1)^2\) ist. Deshalb wählen wir

\(g(x)=\frac{\pi}{2}(x-1)^2\) und \(f(u):=\cos(u)\)

und erhalten (entsprechend der Kettenregel) \[f(g(x))'=\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}(x-1)^2\right)\right)'=f(g(x))g'(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}(x-1)^2\right)\pi(x-1).\] Wir haben also eine Stammfunktion für den obigen Ausdruck gefunden.

Allgemeiner lässt sich dieses Beispiel in der folgenden Form aufschreiben: Seien \(f\) und \(g\) stetig auf \([a,b]\) und \(g\) sei stetig differenzierbar auf \((a,b)\). Dann gilt \[\int f(g(x))g'(x)\,\mathrm{d}x = \int f(u)\, \mathrm du,\] Aus \(u=g(x)\) erhalten wir für den Zusammenhang zwischen \(\mathrm{d}u\) und \(\mathrm{d}x\) die Gleichung: \[\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=g'(x) \Rightarrow du =g'(x)\,\mathrm dx\] der in der letzten Gleichung ausgenutzt wurde.

Eine grundlegende Idee der Substitution ist, \(g\) als eine Abbildung des Intervals \([a,b]\) auf das Interval \([A,B]\) zu interpretieren. Deshalb muss \(g\) auch bijektiv sein. Durch \(g(x):=\frac{\pi}{2}(x-1)^2\) wird das Interval \([1,2]\) auf das Interval \(\left[0,\frac{\pi}2\right]=[g(1),g(2)]\) abgebildet, wie es auch im der Abbildung dargestellt ist. Hier gilt die Gleichung \[\int_a^bf(g(x))g'(x)\, dx = \int_1^2\cos\left(\frac{\pi}{2}(x-1)^2\right)\pi(x-1) \,\mathrm{d}x = \int_{\underbrace{0}_{=g(1)}}^{\overbrace{\frac{\pi}2}^{=g(2)}} \cos(u)\, \mathrm du \int_{\underbrace{A}_{=g(a)}}^{\overbrace{B}^{=g(b)}} f(u)\, \mathrm du.\] In allgemeiner Form lautet die Formel \[\int_a^bf(g(x))g'(x)\, dx = \int_{\underbrace{A}_{=g(a)}}^{\overbrace{B}^{=g(b)}} f(u)\, \mathrm du,\]
Fassen wir dies nochmal in einem Satz zusammen:

Satz 2 (Substitution)

\(f\) sei auf \([a,b]\) stetig und \(g\) auf \((a,b)\) stetig differenzierbar. Dann gilt

\[\int_a^bf(g(x))g'(x)\, dx = \int_{A}^{B} f(u)\, \mathrm du,\]

mit \(A=g(a),\ B=g(b)\)

Umgekehrt gilt mit \(x =g^{-1}(u)\)

\[\mathrm dx =(g^{-1})'(u)\, \mathrm du = \frac{1}{g'\bigl( g^{-1}(u)\bigr) }\, \mathrm du. \] Mit dieser obigen Überlegungen erhalten wir dann \[\int f(x)\mathrm{d}x = \int f\left(g^{-1}(u)\right) \left(g'\bigl( g^{-1}(u)\bigr)\right)^{-1}\mathrm{d}u.\] Dieser Aspekt ist in Teilen der numerischen Mathematik wichtig, soll aber an dieser Stelle nicht weiter vertieft werden.

Beispiel 8.

Wir nehmen das Beispiel vom Anfang des Kapitels wieder auf und suchen die Stammfunktion von \(\cos(x)e^{\sin(x)^2}\), also \(\int \cos(x)e^{\sin(x)^2}\mathrm{d}x\).

Wir erkennen eine innere Funktion \(g(x) = \sin(x)^2\) mit der Ableitung \(g'(x) = 2\cos(x)\). Die äußere Funktion ist \(f(z):=e^z\).

Wir wählen für die Substitution \(z = z(x) = \sin(x)^2\). Aus \(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=2\cos(x)\) folgt \(\mathrm{d}z=2\cos(x)\mathrm{d}x\).

\[\int \cos(x)e^{\sin(x)^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\underbrace{e^{\sin(x)^2}}_{=e^z} \cdot\underbrace{2\cos(x)\mathrm{d}x}_{=\mathrm{d}z}=\]

\[=\int e^z\,\mathrm{d}z = \frac12e^z+c,\,c\in\mathbb{R}.\]

Mit der Rücksubstitution \(z = z(x) = \sin(x)^2\) ergibt sich das Ergebnis

\[ \int \cos(x)e^{\sin(x)^2}\,\mathrm{d}x=\frac12e^{\sin(x)^2}+c,\,c\in\mathbb{R}.\]

Darstellung der Subsitition

Links ist \(f(g(x))g'(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}(x-1)^2\right)\pi(x-1)\) und rechts \(f(u)=\cos(u)\) dargestellt.