Partialbruchzerlegung.
Beispiel 1.
Die Funktion \(\frac{1}{1-x^2}\) lässt sich auf den ersten Blick nicht integrieren.
Allerdings lässt sich der Nenner \(1-x^2\) mittels Linearfaktorzerlegung in \((1-x)(1+x)\) zerlegen und der gesamte Bruch schließlich mittels Partialbruchzerlegung als \(\dfrac{1}{1-x^2} = \dfrac{\frac{1}{2}}{1+x} + \dfrac{\frac{1}{2}}{1-x}\) darstellen. Somit gilt für die Integration: \begin{eqnarray} \int \dfrac{1}{1-x^2} \,\mathrm dx &= & \int \dfrac{\frac{1}{2}}{1+x} + \dfrac{\frac{1}{2}}{1-x}\, \mathrm dx \\ & =& \frac{1}{2} \int \dfrac{1}{1+x}\, \mathrm dx - \frac{1}{2} \int \dfrac{-1}{1-x}\, \mathrm dx\\
& = &\frac{1}{2} \ln|1+x| +c_1 - \frac{1}{2} \ln|1-x| +c_2\\
&= &\frac{1}{2} \ln \left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|+c,\,c\in\mathbb{R}.\end{eqnarray}
Dieses Vorgehen wird nun genauer beschrieben. Dabei betrachten wir Funktionen der Form \(R(x):=\frac{P(x)}{Q(x)}\) und schauen uns einige Fälle für das Nennerpolynom an.
1. Fall: \(Q(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\) mit \(\lambda_1\ne\lambda_2\).
In diesem Fall besitzt \(R\) die Darstellung \(R(x) = \frac{ax+b}{(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)}\). Dies lässt sich aber umformen zu
\[\frac{ax+b}{(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)} = \frac{A}{(x-\lambda_1)}+\frac{B}{(x-\lambda_2)}.\]
Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner \((x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\) führt dies auf
\[ax+b = A(x-\lambda_2) + B(x-\lambda_1) = \underbrace{(A+B)}_{\stackrel{!}{=}a}x + \underbrace{(-A\lambda_2-B\lambda_1)}_{\stackrel{!}{=}b}.\]
Der Koeffizientenvergleich führt also auf ein lineares Gleichungssystem in \(A\) und \(B\).
Beispiel 2.
Berechne die Partialbruchzerlegung von \(\frac{2x+3}{(x-4)(x+5)}\).
Gesucht sind die Parameter \(A\) und \(B\), so dass die Gleichung
\[\frac{2x+3}{(x-4)(x+5)} = \frac{A}{(x-4)}+\frac{B}{(x+5)}\]
gilt. Die Multiplikation mit \({(x-4)(x+5)}\) führt auf den Ansatz
\[2x+3 = A(x+5)+B(x-4) = (A+B)x +5A -4B.\]
Somit erhalten wir das lineare Gleichungssystem
\begin{eqnarray}A+B & = & 2 \\ 5A - 4 B &=& 3\end{eqnarray}
mit der Lösung \(A = \frac{11}{9}\) und \(B= \frac{7}{9}\). Es gilt die Darstellung
\[\frac{2x+3}{(x-4)(x+5)}=\frac{11}{9}\frac{1}{(x-4)}+\frac{7}{9}\frac{1}{(x+5)} \]
Gesucht ist nun das Integral \(\int \frac{ax+b}{(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)}\,\mathrm{d} x.\) Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung lässt sich dieses Integral nun gut berechnen, denn es gilt: \begin{eqnarray}\int \frac{ax+b}{(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)}\mathrm{d} x &=& \int\frac{A}{(x-\lambda_1)}+\frac{B}{(x-\lambda_2)}\mathrm{d} x \\&=&A\int\frac{1}{(x-\lambda_1)}\mathrm{d} x +B\int\frac{1}{(x-\lambda_2)}\mathrm{d} x \\& = & A\ln(|x-\lambda_1|) + B\ln(|x-\lambda_2|).\end{eqnarray}
Beispiel 3.
Gesucht ist die Stammfunktion für \(\frac{2x+3}{(x-4)(x+5)}\), also \(\int\frac{2x+3}{(x-4)(x+5)}\,\mathrm{d} x.\)
Aus dem obigen Beispiel wissen wir bereits:
\[\int\frac{2x+3}{(x-4)(x+5)}\,\mathrm{d} x = \int\frac{11}{9}\frac{1}{(x-4)}+\frac{7}{9}\frac{1}{(x+5)}\, \mathrm{d} x.\]
Mit den letzten Überlegungen folgt unmittelbar:
\[\int\frac{11}{9}\frac{1}{(x-4)}+\frac{7}{9}\frac{1}{(x+5)} \,\mathrm{d} x = \frac{11}{9}\int\frac{1}{(x-4)} \mathrm{d} x + \frac{7}{9}\int\frac{1}{(x+5)} \,\mathrm{d} x= \]
\[\frac{11}{9}\ln(|(x-4)|)+\frac{7}{9}\ln(|(x+5)|).\]
Also gilt:
\[\int\frac{2x+3}{(x-4)(x+5)}\,\mathrm{d} x=\frac{11}{9}\ln(|(x-4)|)+\frac{7}{9}\ln(|(x+5)|).\]
2. Fall: \(Q(x)=(x-\lambda)^2\).
In diesem Fall besitzt \(R\) die Darstellung \(R(x) = \frac{ax+b}{(x-\lambda)^2}\). Dies lässt sich aber umformen zu
\[\frac{ax+b}{(x-\lambda)^2} = \frac{A}{(x-\lambda)}+\frac{B}{(x-\lambda)^2}.\]
Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner \((x-\lambda)^2\) führt dies auf
\[ax+b = A(x-\lambda) + B.\]
Der Koeffizientenvergleich führt also wieder auf ein lineares Gleichungssystem in \(A=a\) und \(B=b+A\lambda=b+a\lambda.\).
3. Fall \(Q(x)=x^2+mx+n\) ohne reelle Nullstellen.
In diesem Fall besitzt \(R\) die Darstellung \(R(x) = \frac{ax+b}{x^2+mx+n}\) und eine einfachere Darstellung ist nicht möglich.
Zunächst soll nur der Spezialfall betrachtet werden \(R(x) = \frac{2x+m}{x^2+mx+n}\)
In diesem Fall gilt:
\[\int \frac{2x+m}{x^2+mx+n}\,\mathrm{d}x = \ln(|x^2+mx+n|)+c, \quad c\in\mathbb{R}. \]
Ein weiterer Spezialfall ist \(R(x) = \frac{1}{x^2+1}\). Hier gilt
\[\int \frac{1}{x^2+1} \, \mathrm{d} x = \arctan(x) +c,\quad c\in \mathbb{R}.\]