Beweis

Satz 2 (Differenzierbarkeit der Integralfunktion)

Die Integralfunktion $F(x)$ ist differenzierbar und es gilt:

\[\frac{d}{dx}F(x) = \frac{d}{dx} \int_a^xf(t)\, \mathrm{d}t = f(x)\]

Beweisidee:

Die Ableitung bezüglich $x$ ist definiert als \[ \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(F(x+h)-F(x)\right) = \lim_{h\to 0} \frac1h \int_{x}^{x+h} f(t)\, \mathrm{d}t.\]

Dieses Integral kann für ein beliebig kleines $h$ geschrieben werden als \[ \frac1h \int_{x}^{x+h} f(t)\, \mathrm{d}t =\frac1h(h\cdot (f(\hat{x}))=f(\hat{x}).\]mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung und $\hat{x}\in (x,x+h)$. Für $h\to 0 $ folgt $\hat{x}\to x$.

$\square$