Satz 3

Sei \(f\colon (a,b)\to \mathbb{R}\) eine differenzierbare Funktion. Dann gilt:
  1. Genau dann wenn für alle \(x\in (a,b) \ \ f'(x)\geq 0\) gilt, dann ist \(f\) steigend.

  2. Genau dann wenn für alle \(x\in (a,b) \ \ f'(x)\leq 0\) gilt, dann ist \(f\) fallend.



Beweis:

Angenommen \(a \lt x_1 \lt x_2 \lt b\).

Dann existiert nach Satz 2 \(x_0\in (x_1,x_2)\), so dass \[f'(x_0)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.\]

Wegen \( (x_2 - x_1) > 0 \) folgt dann, dass \(f(x_2)-f(x_1)=f'(x_0)(x_2-x_1)\).

Somit können wir folgern, dass \(f\) steigt für \(f'(x)\geq 0\) und fällt für \(f'(x)\leq 0\).


Die Rückrichtungen der Aussagen folgen analog, wenn man sich den Differentialquotienten z.B. im Punkt \( x_0\) über den rechtsseitigen Grenzwert betrachtet, d.h. \( f'(x_0)=\lim_{x\to x^+_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \). Durch Verwendung des rechtsseitigen Grenzwerts gilt dann wieder \( x-x_0 >0 \) und die Aussage folgt.

\(\square\)

Hinweis: Mit diesem Beweis könnte man auch die Hinrichtung zeigen. Den MWS benötigt man aber spätestens im nachfolgenden Hinweis (unterhalb des Satzes 3) für die schärfere Aussage.