Der Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen

Sei \(f\colon [a,b]\to \mathbb{R}\) stetig auf dem Intervall \([a,b]\) und differenzierbar im Intervall \((a,b)\). Dann gilt \[f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] für ein \(x_0\in (a,b).\)



Beweis:

Sei \(f\) stetig auf dem Intervall \([a,b]\) und differenzierbar im Intervall \((a,b)\). Dann definieren wir \[g(x):=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a).\]

Nun gilt \(g(a)=g(b)=0\) und \(g\) ist differenzierbar im Intervall \((a,b)\). Nach dem Satz von Rolle existiert ein \(c\in(a,b)\), so dass \(g'(c)=0\). Somit \[f'(c)=g'(c)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]

\(\square\)