Betrachte

Aus der Definition, für \(a>0\) und \(x>0\), \[a^{\log_a(x)} = x.\] Somit, \[\begin{aligned}\frac{d}{dx} a^{\log_a(x)} &= \frac{d}{dx} x \\ a^{\log_a(x)} \ln(a) \cdot \frac{d}{dx} \log_a(x) &= 1 \\ x \ln(a) \cdot \frac{d}{dx} \log_a(x) &= 1 \\ \frac{d}{dx} \log_a(x) &= \frac{1}{x \ln(a)}.\end{aligned}\]

\(\square\)