Aus der Definition von Ableitungen und der trigonometrischen Identität für \(\sin(t+h)\):

\[\begin{aligned}\sin'(t) & = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(t+h)-\sin(t)}{h} \\ & = \lim_{h\to 0} \frac{[\sin(t)\cos(h)+\cos(t)\sin(h)]-\sin(t)}{h} \\ & = \lim_{h\to 0}\sin(t)\frac{\cos(h)-1}{h}+\lim_{h\to 0}\cos(t)\frac{\sin(h)}{h}. \end{aligned}\]

Hier \[\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1\] aus einem geometrischen Argument, und

\[ \frac{\cos h-1}{h} = \frac{\cos^2 h-1}{h(\cos h+1)} = -\frac{\sin h}{h}\cdot \frac{\sin h}{\cos h+1} \to -1\cdot 0 = 0\]

für \( h\to 0\).

Somit haben wir \[\sin'(t)=\cos(t).\]

\(\square\)