Die L'Hospitalsche Regel

Wir nehmen an, dass \(f(x_0)=g(x_0)=0\) gilt und die Funktionen \(f,g\) differenzierbar auf einem Intervall \((x_0-\delta,x_0+\delta)\) sind.

Wenn \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \] existiert, dann gilt \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. \]



Beweis:

Für den speziellen Fall \(g'(x_0)\neq 0\) ist der Beweis einfach: \[ \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)} = \frac{\bigl( f(x)-f(x_0)\bigr) /(x-x_0)}{\bigl( g(x)-g(x_0)\bigr) /(x-x_0)} \to \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}. \] Für den allgemeinen Fall benötigen wir den sogenannten allgemeinen Mittelwertsatz, welcher besagt, dass \[ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \] für ein \(c\in \, ]x_0,x[\). Hier haben wir den gleichen Punkt \(c\) sowohl im Zähler als auch im Nenner, also benötigen wir nicht einmal die Stetigkeit der Ableitungen!