Angenommen \(f\) ist differenzierbar in \(x\) und \(f(x)\neq 0\). Wir bestimmen \[(\frac{1}{f})'(x).\]

Aus der Definition erhalten wir: \[\begin{aligned}\frac{(1/f)(x+h)-(1/f)(x)}{h} & = \frac{1/f(x+h)-1/f(x)}{h} \\ & = \frac{\frac{f(x)}{f(x)f(x+h)}-\frac{f(x+h)}{f(x)f(x+h)}}{h} \\ & = \frac{f(x)-f(x+h)}{h}\frac{1}{f(x)f(x+h)}\end{aligned}\]

Da \(f\) differenzierbar in \(x\) ist, folgt \[\frac{f(x)-f(x+h)}{h}\frac{1}{f(x)f(x+h)}=-f'(x)/f(x)^2,\] für \(h\to 0\).

\(\square\)