Satz 3.

Es sei \( f \colon \left[ a, b \right] \to \mathbb{R} \) eine stetige Funktion. Dann gibt es Werte \( c, d \in \left[ a, b \right] \), so dass \( f(c) \leq f(x) \leq f(d) \) für alle \( x \in \left[ a, b \right] \) gilt.



Beweis:

Die Funktion \( f \) stetig iim Intervall \( \left[ a, b \right] \) und daher beschränkt. Also gibt es ein \( y_0 \) mit \( y_0 = \sup\limits_{x \in \left[ a, b \right]} f(x) \).

Aus der Definition des Supremums folgt, dass für alle \( k \in \mathbb{N} \) ein \( x_k \in \left[ a, b \right] \) existiert mit \( f(x_k) > y_0 - \frac{1}{k} \).

Da die Folge \( \left( x_k \right) \) beschränkt ist, existiert eine konvergente Teilfolge, die wir mit \( \left( x_{k_j} \right) \) bezeichen. Überdies sei \( \lim\limits_{j \to +\infty} x_{k_j} = d \).

Aus der Definition des Supremums folgt \( f(d) \leq y_0 \). Da \( f \) eine stetige Funktion ist, gilt

\[ f(d) = \lim\limits_{j \to +\infty} f(x_{k_j}) \geq \lim\limits_{k \to +\infty} y_0 - \frac{1}{k} = y_0 \]

Aus \( f(d) \leq y_0 \) und \( f(d) \geq y_0 \) folgt \( f(d) = y_0 = \sup\limits_{ x \in \left[ a, b \right] } f(x) \), wobei \( d \in \left[ a, b \right] \). Daher ist \( d \) der Punkt des Intervalls \( \left[ a, b \right] \), an dem die Funktion \( f \) ihr Maximum annimmt.

Analog wird die Existenz des Punktes \( c \in \left[ a, b \right] \) gezeigt, an dem \( f \) ihr Minimum annimmt.

\(\square\)