Beweis:

Der Beweis wird durch Widerspruch geführt. Dazu nehmen wir an, dass die Funktion \(f\) stetig und unbeschränkt auf dem Intervall \( \left[ a, b \right] \) ist.

Wir betrachten zunächst den Fall, dass die Funktion \(f\) nach oben unbeschränkt ist.

Aus der Annhame, das die Funktion \(f\) nach oben unbeschränkt ist, folgt: für jedes \( k \in \mathbb{N} \) gibt es ein \( x_k \) mit \( |f(x_k)| > k \). Die Folge \( \left( x_k \right)_{k \in \mathbb{N}} \) hat eine konvergente Teilfolge, die wir mit \( \left( x_{k_j} \right) \) bezeichnen. Ferner sei\( \lim\limits_{j \to +\infty} x_{k_j} = c \), \( c \in \left[ a, b \right] \).

Da die Funktion \(f\) stetig ist, gilt \( \lim\limits_{j \to +\infty} f(x_{k_j}) = f(c) \in \mathbb{R} \). Andererseits glt auf Grund der Wahl der Teilfolge \( \left( x_{k_j} \right) \), dass der Grenzwert von \( f \) in diesen Punkten nicht endlich ist: \( \lim\limits_{j \to +\infty} |f(x_{k_j})| \geq \lim\limits_{j \to +\infty} k_j = +\infty \).

Dies ist ein WIderspruch. Also war die anfängliche Annahme, dass die Funktion \( f \) nach oben unbeschränkt ist, falsch.

Der Fall, dass die Funktion \(f\) nach unten unbeschränkt ist, wird analog behandelt.

\(\square\)