Beweis:

Die Funktion\(f(x) \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sei an der Stelle \(x_0\) stetig und \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) stetig an der Stelle \(f(x_0)\). Ferner sei \( \left( x_k \right) \) eine Folge mit \( x_k \to x_0 \).

Weil \(f\) an der Stelle \(x_0\) stetig ist, gilt \(f(x_k) \to f(x_0) \).

Weil \(g\) an der Stelle \(f(x_0)\) stetig ist, erhält man:

\[ \lim\limits_{x \to x_0} g \circ f (x) = \lim\limits_{k \to \infty} g \circ f (x_k) = \lim\limits_{k \to \infty} g(f(x_k)) = g(f(x_0)) = g \circ f (x_0) \]

Daher ist \(g \circ f (x)\) eine stetige Funktion.

\(\square\)