Übung 1

Hat die Funktion \[f(x)=\frac{1}{2^{\frac{1}{x^2}}}\] mit \(\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{0\}\) eine hebbare Definitionslücke?

Lösung

Aus \[\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty\] folgt \[\lim_{x\to0}2^{\frac{1}{x^2}}=+\infty\] und \[\lim_{x\to0}\frac{1}{2^{\frac{1}{x^2}}}=0.\] Daher liegt eine hebbare Definitionslücke an der Stelle \(x_0=0\) vor und \(f\) hat eine stetige Fortsetzung: \[\tilde f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2^{\frac{1}{x^2}}},&{\rm~for~}x\not=0\\0, & {\rm~for~} x=0\end{cases}.\]