Übung 3

Berechne \( \lim \limits_{x \to +\infty} \sin \left( \frac{\cos x}{2^x} \right) \)

Lösung

Diese Funktion kann wie folgt zerlegt werden:

\[ g(x) = \frac{\cos x}{2^x} \] \[ f(x) = \sin x \] \[ f(g(x)) = \sin \left( \frac{\cos x}{2^x} \right) \]

Die zugehörigen Grenzwerte sind:

• \( \lim \limits_{x \to +\infty} \frac{\cos x}{2^x} = 0 \), da die Cosinus-Funktion des Zählers durch die Werte \( 1 \) und \( -1 \) nach oben und unten beschränkt ist und die Exponentialfunktion \( 2^x \) des Nenners für \( x \to + \infty \) gegen unendlich strebt:.

• \( \lim \limits_{x \to 0} \sin x = 0 \)

Daher gilt \( \lim \limits_{x \to +\infty} \sin \left( \frac{\cos x}{2^x} \right) = 0 \).