Übung 2.

Berechne \( \lim \limits_{x \to +\infty} e^{ \sqrt{x+1} - \sqrt{x} } \)

Lösung

Wir gehen wie in Übung 1 vor und zerlegen \( e^{ \sqrt{x+1} - \sqrt{x} } \). Es gilt:

\[ g(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x} \] \[ f(x) = e^x \] \[ f(g(x)) = e^{ \sqrt{x+1} - \sqrt{x} } \]

Daher kann die Grenzwertberechnung in mehreren Schritten durchgeführt werden

• \( \lim \limits_{x \to +\infty} g(x) = \lim \limits_{x \to +\infty} \sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \lim \limits_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \)

  \( = \lim \limits_{x \to +\infty} \frac{x+1 - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \lim \limits_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = 0 \)

• \( \lim \limits_{x \to 0} f(x) = \lim \limits_{x \to 0} e^x = 1 \)

Also gilt \( \lim \limits_{x \to +\infty} e^{ \sqrt{x+1} - \sqrt{x} } = 1 \)