Übung 1

Berechne \( \lim \limits_{x \to +\infty} e^{- \frac{\sin x}{x} } \)

Lösung

Es handelt sich um eine Komposition von Funktionen. Dies bedeutet, dass man Funktionen \( f\) und \( g\) finden muss, so dass \( f(g(x)) = e^{- \frac{\sin x}{x} } \) gilt. Es gibt einen "natürlichen" Weg, um die Funktion aus einem "inneren" Teil (Bruch) und einem "äußeren" Teil (e-Funktion) zusammenzusetzen.

Es sei \( g(x) = - \frac{\sin x}{x} \) der Bruch und die e-Funktion sei \( f(x) = e^x \). Dann gilt \( f(g(x)) = e^{- \frac{\sin x}{x} } \). Das Theorem über den Grenzwert einer Komposition von Funktionen liefert sodann:

\[ \lim \limits_{x \to +\infty} g(x) = \lim \limits_{x \to +\infty} - \frac{\sin x}{x} = 0 \] \[ \lim \limits_{x \to 0} f(x) = \lim \limits_{x \to 0} e^x = 1 \]

Daher gilt \( \lim \limits_{x \to +\infty} e^{- \frac{\sin x}{x} } = 1 \).