Beweis:
Angenommen, die Funktion \( f(x) \) hat an der Stelle \( x_0 \) zwei verschiedene Grenzwerte: \(y_1\) und \(y_2\). Aus der Definition folgt, dass es dann zwei Folgen \( \left( a_k \right)_{k \in \mathbb{N}} \) und \( \left( b_k \right)_{k \in \mathbb{N}} \) gibt, so dass gilt:
\( \left( f(a_k) \right)_{k \in \mathbb{N}} \to y_1 \) und \( \left( f(b_k) \right)_{k \in \mathbb{N}} \to y_2 \)
Wir konstruieren nun eine Folge \( \left( c_k \right)_{k \in \mathbb{N}} \), die aus den beiden Folgen \( \left( a_k \right) \) und \( \left( b_k \right) \) zusammengesetzt ist:
\[ \left( c_k \right) = \left( a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3, \ldots , a_n, b_n, \ldots \right) \]
Falls die Folge \( \left( c_k \right) \) gegen einen Grenzwert \(c_0\) konvergieren würde, dann müssten alle Folgenglieder (ab einem gewissen Index) zu dem Intervall \( \left] c_0 - \epsilon , c_0 + \epsilon \right[ \) gehören. Dabei wurde \(\epsilon>0\) im Voraus festgelegt und ist beliebig klein.
Andererseits konvergieren \( \left( a_k \right) \) und \( \left( b_k \right) \) gegen \(y_1\) und \(y_2\). Daher gehören alle Folgenglieder von \( \left( a_k \right) \) (ab einem gewissen Index) zum Interval \( \left] y_1 - \epsilon , y_1 + \epsilon \right[ \), und ebenso gehören die Folgenglieder von \( \left( b_k \right) \) (ab einem gewissen Index) zum Intervall \( \left] y_2 - \epsilon , y_2 + \epsilon \right[ \). Da \(y_1\) und \(y_2\) verschieden sind, kann man ein \(\epsilon>0\) so bestimmen, dass sich die Umgebungen von \(y_1\) und \(y_2\) nicht schneiden.
Daher wird die Folge \( \left( c_k \right) \) ab einem bestimmten Index \(n_0\) zwischen zwei infinitesimal großen Intervallen alternieren, wobei sich die Intervalle nicht überlappen. Dies steht im Widerspruch dazu, dass die Folge \( \left( c_k \right) \) gegen den Wert \(c_0\) konvergiert.
\(\square\)