Übung 4

Berechne \[\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x}\]

Lösung

In diesem Fall kann eine Eigenschaft der Sinus-Funktion verwendet werden, nämlich dass sie nach unten und nach oben durch die Werte \( -1 \) and \( 1 \) beschränkt ist:

\[ - \frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x} \text{ für } x \in \mathbb{R} \]

Sowohl \(- \frac{1}{x} \) als auch \( \frac{1}{x} \) haben null als Grenzwert, wenn \( x \) gegen plus unendlich strebt. Daher ist der Grenzwert des Ausdrucks in der Mitte \( \frac{\sin x}{x} \) ebenfalls null:

\[ \lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x} = 0 \]