Übung 3

Berechne \[\lim_{n\to 4}\frac{n-4}{\sqrt{n}-2}\]

Lösung

Auf den ersten Blick haben Zähler und Nenner dieses Bruches keine Faktoren gemein, da ihre Potenzen den Grad \( 1 \) nicht überschreiten. Andererseits kann man \( n \) als Quadrat von \( \sqrt{n} \) darstellen: \( n = \left( \sqrt{n} \right)^2 \). Daher kann die dritte binomische Formel auf den Zähler angewendet werden: \[\lim_{n\to 4}\frac{n-4}{\sqrt{n}-2}=\lim_{n \to 4}\frac{\left( \sqrt{n} \right)^2 - 2^2}{\sqrt{n} - 2}=\lim_{n \to 4} \frac{(\sqrt{n} - 2)(\sqrt{n} + 2)}{\sqrt{n}-2} = \lim_{n \to 4} (\sqrt{n} + 2) =4\]