Wir wenden die Definition von Konvergenz an.

Betrachte eine Folge \(\left( a_n \right)\),die gegen den Grenzwert \(A\) konvergiert. Es sei \(\epsilon_0\) fest gewählt und \(n_0\) die zugehörige Schranke für die Folgenindizes. Dies bedeutet, dass für \(n\) größer als \(n_0\) alle Folgenglieder \(a_n\) von \(A\) um nicht mehr als \(\epsilon_0\) abweichen.

Daher sind für alle \(n > n_0\) die Folgenglieder \(a_n\) durch die Werte \(A- \epsilon_0\) und \(A + \epsilon_0\) beschränkt, d.h. all diese Werte liegen im Intervall \([ A-\epsilon_0 ; A+\epsilon_0 ]\). Diie restliche Folge enthält nur endlich viele Werte, nämlich \(\left( a_1, a_2, a_3, ... , a_{n_0} \right)\). Jede endliche Menge ist nach oben und nach unten bechränkt. .

Wir definieren nun \(a_{min} = min \left( A-\epsilon_0, a_1, a_2, ... , a_n \right)\) und \(a_{max} = max \left( A+\epsilon_0, a_1, a_2, ... , a_n \right)\). Die Folge \(\left( a_n \right)\) ist also nach unten durch \(a_{min}\) und von oben durch \(a_{max}\) beschränkt.

\(\square\)