Die Folge \(a_n = \frac{2n+5}{n+1}\) für \(n \in \mathbb{N}\) konvergiert gegen \( 2\).

Beweis: Sei \( \epsilon >0 \) beliebig. Wähle \( N_{\epsilon} > \frac{3}{\epsilon}-1 \). Für \( n \geq N_{\epsilon} \) gilt dann:

\[ |\frac{3}{n+1}-0| = \frac{3}{n+1} \leq \frac{3}{N_{\epsilon}+1} < \epsilon \]

Im letzten Schritt ist zu beachten, dass unsere Variablen im Nenner stehen und deshalb ein < statt eines > folgt. Wir haben auch gesehen, dass die Wahl von \( N_{\epsilon} \) sehr wichtig, aber intransparent ist. Wie also sind wir auf diesen Index gestoßen?

Ziel ist es die Ungleichung \( \frac{3}{N_{\epsilon}+1} < \epsilon \) benutzen zu können, d.h. wir wollen "rückwärts rechnen". Wir stellen die Ungleichung nach \( N_{\epsilon} \) um und erhalten so den gewählten Term.

\(\square\)