Übung 4.

Finde für die Folge \( \left( f_n \right) = \left( \sqrt{3} \cdot 2^{n-1} \right) \) den Index \( n \), ab dem alle Folgenglieder kleiner als \( \frac{1}{512} \) sind.

Lösung

Um die Frage zu beantworten, ist es naheliegend, den Term \( \sqrt{3} \cdot 2^{1-n} \) kleiner als \( \frac{1}{512} \) zu setzen, die Ungleichung zu lösen und das nächst größere natürliche \( n \) bestimmen. Dies führt jedoch zu Komplikationen (u.a. Logarithmen zur Basis 2). Diese Schwierigkeiten wollen wir umgehen.

Aus den Eigenschaften der Potenzen folgt:

\[ \sqrt{3} \cdot 2^{1-n} = \frac{\sqrt{3}}{2^{n-1}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{2^{n}} < \frac{2 \cdot \sqrt{4}}{2^{n}} = \frac{4}{2^{n}} = \frac{1}{2^{n-2}} \]

Damit \( \sqrt{3} \cdot 2^{1-n} \) kleiner als \( \frac{1}{512} \) ist, genügt es, dass \( \frac{1}{2^{n-2}} \) kleiner als \( \frac{1}{512} \) ist. Dies ist für \( n > 10 \) der Fall, da \( \frac{1}{512} = \frac{1}{2^9} \) gilt.