Übung 3.

Es sei \[a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\] fürr \(n\in\mathbb{N}\). Finde den Grenzwert der Folge \((a_n)\).

Lösung

Es gilt \[ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \geq 0 \] Betrachte \[ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \] \[ = \frac{\sqrt{n+1}^2-\sqrt{n}^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \] \[= \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \] Für große \(n\) also \(n \rightarrow \infty \) nähert sich \(\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\rightarrow 0 \) an. Wir haben also eine Abschätzung nach der \(a_n\) zwischen \(0\) und einer Folge, die für große \(n\) gegen \(0\) geht liegt. Also ist \(0 \) auch der Grenzwert von \(a_n\)