Übung 2.

Es sei \[a_n=\frac{6n-2}{2n+2}\] für \(n\in \mathbb{N}\). Finde das kleinste \(n_0\), so dass \[\vert a_n-3\vert<\epsilon\] mit \(\epsilon =\frac{1}{100}\) für alle \(n\geq n_0\) gilt.

Lösung

Es gilt \[\vert a_n-3\vert = \vert\frac{6n-2}{2n+2}-3\vert=\vert\frac{(6n-2)-3(2n+2)}{2n+2}\vert=\vert\frac{-8}{2n+2}\vert=\frac{8}{2n+2}.\] Aus \[\frac{8}{2n+2}<\frac{1}{100}\] folgt \[8\cdot100<2n+2\] und daher \[n>399.\] Also gilt \(n_0=400\).