Beweis

Seien die Folgen \( (x_n) \) und \( (y_n) \) konvergent mit Grenzwerten \( x \) und \( y \). Sei weiter \( \epsilon > 0\) beliebig. Jede der beiden Folgen ist aufgrund der Konvergenz beschränkt, d.h. es existiert jeweils eine Konstante \( c \), sodass \( |x_n| \leq c \) für alle \( n \in \mathbb{n} \) und analog für \( (y_n) \). Diese müssen nicht zwangsweise identisch sein. Wir wählen die größere Konstante und nennen sie \( C \), da die Ungleichung dann für beide Folgen mit \( C \) gilt. Wieder wissen wir, dass die beiden Folgen konvergent sind und wählen die rechte Seite der Ungleichung für die abschließende Gleichung geschickt mit \( \frac{\epsilon}{2C} \). Da es sich bei \( C \) um eine folgenspezifische Konstante handelt, ist dies auch kein Problem. Es gilt also für \( N_x \) bzw. \( N_y \) aus \( \mathbb{N} \): \[ \forall n \geq N_x : \vert x_n-x\vert < \frac{\epsilon}{2C} \, \textrm{und} \, \forall n \geq N_y : \vert y_n-y\vert < \frac{\epsilon}{2C}. \] Für \( N_{\epsilon} = max(N_x,N_y) \) gilt dann durch Addieren einer geschickten \( 0 \) und Ausklammern von \(x_n\) und \(y\): \[ \vert x_n y_n-xy\vert=\vert x_n y_n-x_n y+x_n y-xy\vert =\vert x_n\vert\cdot \vert y_n-y\vert+\vert y\vert \cdot \vert x_n-x\vert < C \cdot \frac{\epsilon}{2C} + C \cdot \frac{\epsilon}{2C} = \epsilon \] Damit ist die Aussage bewiesen.

Die Gültigkeit bleibt auch für die Division zweier konvergenter Folgen, sofern die Folge im Nenner nicht gegen \( 0 \) konvergiert.