Satz

Seien \((x_n)\) und \((y_n)\)zwei konvergente Folgen mit den Grenzwerten \(x\) und \(y\). Es gilt: \[ \lim_{n \to \infty}(x_n+y_n)=\lim_{n \to \infty}x_n+\lim_{n \to \infty}y_n. \]



Beweis

Sei also \( \epsilon>0 \) beliebig aber fest. Da beide gegebenen Folgen konvergent sind, existieren \(N_x\) und \(N_y\), sodass \[ \forall n \geq N_x: |x_n-x|<\frac{\epsilon}{2} \, \textrm{und} \, \forall n \geq N_y: \vert y_n-y\vert<\frac{\epsilon}{2} \] gilt. Wir können nun die Definition der Konvergnz für die Folge \((x_n+y_n)\) überprüfen: \[\vert(x_n+y_n)-(x+y)\vert = \vert(x_n-x)+(y_n-y)\vert \leq \vert (x_n-x)\vert+\vert(y_n-y)\vert< \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \] Damit ist die Konvergenz gezeigt und dass \( x+y \) der Grenzwert ist.