Übung 1.

Gegeben sei die Folge von Beispiel 1 definiert mit der Formel \( a_n = \frac{n^2+n}{2}\). Gehören die Zahlen \( 78 \) und \( 100 \) zu dieser Folge?

Lösung

Angenommen, die Zahl \( 78 \) ist ein Element der Folge \( \left( a_n \right) \). Dies würde bedeuten, dass dieser Wert zu einem gewissen Index \( m \) korrespondiert und \( a_m = 78 \) gilt.

Da wir für \( \left( a_n \right) \) eine explizite Formel haben, formulieren wir auf Basis dieser eine geeignete Gleichung:

\[ \frac{n^2+n}{2} = 78 \]

Dies lässt sich in die quadratische Gleichung \[ n^2+n-156 = 0 \] umformulieren.

Diese Gleichung hat die Parameter \( a=1 \), \( b=1 \), \( c=-156 \). Daher sind die Lösungen: \[ m=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{625}}{2} \]

und somit

\[ m_1 = 12\\ m_2 = -13 \]

Daher hat die Gleichung die beiden Lösungen: \( m_1 = 12 \) und \( m_2 = -13 \). Aber es werden nur natürliche Zahlen in Betracht gezogen. Daher ist die Zahl \( 78 \) ein Element der Folge \( \left( a_n \right) \) mit zugehörigem Index \( 12 \):

\[ a_{12} = 78 \]

Für das zweite Problem muss die folgende Gleichung gelöst werden:

\[ \frac{n^2+n}{2} = 100\\ n^2 + n - 200 = 0 \]

Dies ist wiederum eine quadratische Gleichung mit \(a = 1\), \(b = 1\) und \(c = -200\) . Als Lösung erhalten wir:

\[ n=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{801}}{2} \]

Unter den beiden Lösungen \( n_1 = \frac{-1 +\sqrt{801}}{2} \) und \(n_2 \frac{-1 - \sqrt{801}}{2} \) ist keine natürliche Zahl. Daher gibt es keine natürliche Zahl \( n \) mit \( a_n = 100 \). Daher ist \( 100 \) kein Element der Folge.