Wir können also nun Gleichunge der Form \( x^r = a, r \in \mathbb{N}, a \in \mathbb{R} \) auf Lösungen untersuchen und mithilfe der Rechenregeln für Potenzen sogar falls \( r \in \mathbb{Q} \). Doch wie geht man bei Gleichungen wie \( 5^x = 2 \) vor?
Eine Möglichkeit wäre eine Lösung approximierend zu suchen. Es gibt aber hierfür auch die Operation des Logarithmus (das Anwenden nennt man "logarithmieren"), die das exakte Ergebnis widerspiegelt. In obigem Beispiel ist dann \( x = log_{5} 2 \approx 0,43 \), gesprochen "\( x \) ist der Logarithmus von 2 zur Basis 5".
Die häufigsten Basen sind die Eulersche Zahl \( e \) sowie die für das Dezimalsystem wichtige Zahl \( 10 \). Für erstere ist die Schreibweise \( ln \) statt \( log_e \) üblich ("natürlicher Logarithmus"), für zweitere \( log \) oder \( lg \) statt \( log_{10} \) ("dekadischer oder 10er-Logarithmus"). Beachte: Dies gilt v.a. für die Naturwissenschaften. Manche Mathematiker nutzen \( lg \) auch für den natürlichen Logarithmus - auf den Kontext achten!
Auch zu beachten ist, dass der Logarithmus, unabhängig von der Basis \( a \) , nur von einer echt-positiven Zahl gebildet werden kann, da für jede Basis \( a \) der Ausdruck \( a^x \) für alle \( x \, \textrm{in} \, \mathbb{R} \) nie negativ und für \( a \ne 0 \) nie null werden kann!
Da es sich bei dem Logarithmus also einfach gesagt um die Umkehroperation zum Potenzieren handelt, ähneln sich die Logarithmusrechenregeln zu denen der Potenzen stark. Zur besseren Lesbarkeit ist keine Basis angegeben, sie kann beliebig aber fest sein. Wiederum seien \( a \) und \(b \) so gewählt, dass der Logarithmus einer positiven Zahl gebildet wird und es so zu keinen Definitionsproblemen kommt:
- \( log(a \cdot b) = log (a) + log (b) \)
- \( log(\frac{a}{b}) = log (a) - log (b) \)
- \( log (a^b) = b \cdot log (a) \)
- \( log_{a} b = \frac{log_{c} a}{log_{c} b} \, \textrm{mit} \, c \, \textrm{beliebig} \) ("Basiswechsel")
Letztere Rechenregel ist bspw. bei älteren Taschenrechnern notwendig, um beliebige Logarithmen berechnen zu können.