Aufgabe 1

Löse die Gleichung \[3^{x}+3^{x+2}=30.\] Ausklammern von \(3^x\) auf der linken Seite liefert \[3^x(1+3^2)=30,\] \[3^x\cdot 10=30;\quad 3^x=3; \quad x=1.\]

Aufgabe 2

Löse die Gleichung \[2^{x^2-1}-3^{x^2-1}=3^{x^2}-2^{x^2+2}.\] Fassen wir alle Ausdrücke mit der Basis \(2\) auf der linken Seite und alle Ausdrücke mit der Basis \(3\) auf der rechten Seite zusammen: \[2^{x^2-1}+2^{x^2+2}=3^{x^2}+3^{x^2-1},\] \[2^{x^2-1}\left(1+2^3\right)=3^{x^2-1}\left(3+1\right),\] \[2^{x^2-1}\cdot 9=3^{x^2-1}\cdot 4,\] \[2^{x^2-3}=3^{x^2-3},\] \[\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2-3}=1; \quad x^2-3=0;\quad x=\pm\sqrt{3}.\]

Aufgabe 3

Löse die Gleichung \[\left(\frac{5}{11}\right)^x+4\left(\frac{11}{5}\right)^x=5.\] Bezeichnen wir \(\left(\frac{5}{11}\right)^x=t\). Dann kann die Gleichung repräsentiert werden als \[t+\frac{4}{t}=5; \text{ oder } t^2-5t+4=0; \text{ und } t_1=1;\quad t_2=4. \] Wenn \(t=1\), dann \(\left(\frac{5}{11}\right)^x=1\) und \(x=0\). Wenn \(t=4\), dann \(\left(\frac{5}{11}\right)^x=4\) und \(x=\log_{\frac{5}{11}}4\).