Die Scheitelbestimmung durch Quadratische Ergänzung stellt die wohl gängigste Methode zur Berechnung von Extremwerten in der Sekundarstufe I dar. Notwendig dafür ist, dass sich das gegebene Problem mit Hilfe einer quadratischen Funktion darstellen lässt, deren Scheitel den gesuchten Extrempunkt darstellt.
Jede quadratische Funktion der Form
\(y=p(x)=ax^2+bx+c\)
gehört zu einer Parabel (Graph) mit zugehörigem Scheitel, der den Extrempunkt des Graphen darstellt. Für \(a>0\) handelt es sich dabei um ein Minimum, für \(a<0\) um ein Maximum.
Zu dessen Bestimmung dient das Verfahren der Quadratischen Ergänzung,
bei dem obige Funktionsgleichung unter Verwendung den Binomischen Formeln
in eine Form gebracht wird, an der sich \(x\)-Wert und \(y\)-Wert des Scheitels direkt ablesen lassen.
\( y=a(x^2+\frac{b}{a}\cdot x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c \)
\(y=a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{ab^2}{4a^2} +c\)
\(y=a(x+\frac{b}{2a})^2 +c - \frac{b^2}{4a}\)
Die resultierende Gleichung stellt eine gestreckte/gestauchte und (horizontal und vertikal)
verschobene Normal-Parabel der Form \(y=\alpha (x- \beta )^2+ \gamma\) dar. Ihr Scheitel liegt bekanntlich im Punkt \((\beta|\gamma)\).
Die Funktion p nimmt ihr Maximum, bzw. Minimum also für \(x=-\frac{b}{2a}\) und \(y=c-\frac{b^2}{4a}\) an.