Satz: "Reihendarstellung von \(\cos\) und \(\sin\)"
Für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt:
\(\cos(x) = \sum_{k=0}^\infty {(-1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!}}\)
\(\sin(x) = \sum_{k=0}^\infty {(-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\)
Beweis:
Aus der Exponentialreihe folgt
\(\exp(ix) = \sum_{n=0}^\infty {\frac{(ix)^n}{n!}} = \sum_{k=0}^\infty {i^{2k} \frac{x^{2k}}{(2k)!}} + \sum_{k=0}^\infty {i^{2k+1} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}} = \)
\( = \underbrace{\sum_{k=0}^\infty {(-1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!}}}_{\cos(x)} + i \cdot \underbrace{\sum_{k=0}^\infty {(-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}}_{\sin(x)}\)
denn es gilt: \(i^{2k} = (-1)^k\).
Im Vergleich mit der Eulerschen Identität ergeben sich die gesuchten Reihendarstellungen.