Beweis:

Analog zu Satz 1 wissen wir, dass die Aussage für zwei feste \( x \) und \( y \) aus \( \mathbb{R^+} \) gilt und wir müssen das nun wieder für Funktionen zeigen. Wiederum gilt dies für alle Werte aus dem Definitionsbereich und damit für die gesamte Funktion. Wir wollen die Aussage für zwei feste \( x, y \in \mathbb{R^+} \) zeigen: Da \( x \) und \( y \) echt positiv sind, liegen sie im Bildbereich der Funktion \( t \mapsto a^t \). Es existieren also \( \xi \in \mathbb{R} \) und \( \eta \in \mathbb{R} \) mit \( x = a^{\xi} \) und \( y = a^{\eta} \). Wir können dann wie folgt umformen:

\(\log_a (x \cdot y) = \log_a (a^{\xi} \cdot a^{\eta}) = \log_a (a^{\xi + \eta}) = \xi + \eta = \log_a(x) + \log_a (y)\), mit \(\xi\in\mathbb{R}\) und \(\eta\in\mathbb{R}.\)

Beim ersten und letzten Ist-gleich-Zeichen wurden die Definitionen von \( \xi \) sowie \( \eta \) verwendet. Die zweite Umformung gilt nach Satz 1 (Erste Funktionalgleichung) und die dritte folgt aus der Definition des Logarithmus.