Kurvendiskussion


Hier wird zuerst das allgemeine Vorgehen erklärt und dann am Beispiel der Funktion \(f\) mit \(f(x) = \frac{1}{4} x^4 − 2x^2 − \frac{9}{4}\) ausgeführt.



- Definitionsbereich -
Bestimmen Sie den Definitionsbereich, d.h. alle Zahlen die in die Funktion eingesetzt werden dürfen ohne das eine verbotene Operation ausgeführt wird (z.B. Division durch \(0\), Wurzel aus einer negativen Zahl, ...). Überprüfen Sie auch, ob eine Definitionslücke stetig hebbar ist. In diesem Fall kann man viele Berechnungen mit der stetigen Fortsetzung durchführen, die ja in jedem Punkt - bis auf die Definitionslücke - mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Die Funktion \(f(x)\) ist ein Polynom. Es dürfen alle \(x \in \mathbb{R}\) eingesetzt werden. Der Definitionsbereich ist also \(\mathbb{R}\).


- Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs, Bestimmung der Asymptoten -
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion an den Grenzen des Definitionsbereichs durch Grenzwertbildung. Wenn der Definitionsbereich nicht beschränkt ist, ist das Verhalten der Funktion gegen \(\pm \infty\) zu untersuchen. Bei gebrochen rationalen Funktionen treten außerdem Asymptoten auf. Es sind waagerechte Asymptoten und schiefe Asymptoten beim Verhalten der Funktion gegen \(\pm \infty\), sowie senkrechte Asymptoten an Defintionslücken möglich.

\( \lim_{x \to - \infty} f(x) = \lim_{x \to - \infty}{\frac{1}{4} x^4 − 2x^2 − \frac{9}{4}} = \infty\) und
\( \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty}{\frac{1}{4} x^4 − 2x^2 − \frac{9}{4}} = \infty\)


- Symmetrien -
Stellen Sie fest, ob die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. In beiden Fällen muss dann die Funktion nur noch für \(x \ge 0\) untersucht werden. Allgemein gilt bei Achsensymmetrie zur y-Achse \(f(x) = f(−x)\) und bei Punktsymmetrie zum Ursprung \(f(x) = −f(−x)\). Speziell bei Polynomen gilt: Polynome bei denen nur gerade Exponenten auftreten sind achsensymmetrisch zur y-Achse, Polynome bei denen nur ungerade Exponenten auftreten sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Bei der Funktion \(f(x)\) treten nur gerade Exponenten auf. Die Funktion ist also achsensymmetrisch zur y-Achse.


- Nullstellen -
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion durch den Ansatz \(f(x) = 0\). Bei Polynomen mit Grad \(p > 2\) ist eventuell eine Polynomdivision zur Reduktion des Grades nötig.

\(f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4} x^4 - 2 x^2 - \frac{9}{4} = 0\)
\( \Leftrightarrow x^4 - 8 x^2 -9 =0\)

Diese biquadratische Gleichung wandelt man durch die Substitution \(x^2= u\) in eine quadratische Gleichung um und erhält die Lösungen \(u_1= 9\), \(u_2= −1\). Die Rücksubstition \(x = \pm \sqrt{u}\) ergibt die beiden Lösungen \(x_1= −3\), \(x_2= 3\). Es ergeben sich also die Nullstellen \(N_1(-3|0)\) und \(N_2(3|0)\).


- Extrema (Punkte mit waagerechter Tangente) und Monotonie -
Bestimmen Sie die Extrema der Funktion durch den Ansatz \(f'(x) = 0\). Falls \(f'(x) = 0 \wedge f''(x) < 0\) so liegt ein lokales Maximum, falls \(f'(x) = 0 \wedge f''(x) > 0\) ein lokales Minimum und falls \(f'(x) = 0 \wedge f''(x) = 0\) ein Sattelpunkt vor. Für alle Werte von \(x\) mit \(f'(x) > 0\) steigt die Funktion streng monoton, für alle Werte mit \(f'(x) < 0\) fällt die Funktion streng monoton.

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^3 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(x^2-4) = 0\)

Diese Gleichung hat die Lösungen \(x_1= 0\), \(x_2= −2\), \(x_3= 2\). Einsetzen in die zweite Ableitung \(f''(x) = 3x^2− 4\) ergibt ein lokales Maximum für \(x_1= 0\) (da \(f''(0) = −4 < 0\)) und lokale Minima für \(x_2= −2\) (da \(f''(−2) = 8 > 0\)) und \(x_3= 2\) (da \(f''(2) = 8 > 0\) oder wegen der Symmetrieeigenschaft). Durch Einsetzen in die Funktionsgleichung \(f(x)\) erhält man die zugehörigen y-Koordinaten der Extrempunkte: \(MAX(0|-2,25)\), \(MIN_1(-2|-6,25)\), \(MIN_2(2|-6,25)\). Aus dem Verhalten gegen \(\pm \infty\) und der Lage und Art der Extrempunkte kann man herleiten, dass \(f(x)\) in den Intervallen von \((− \infty;-2)\) und \((0;2)\) streng monoton fällt und ansonsten in \((-2;0)\) und \((2; \infty)\) streng monoton steigt.


- Wendepunkte und Krümmungsverhalten -
Bestimmen Sie die Wendepunkte der Funktion durch den Ansatz \(f''(x) = 0\). Falls \(f''(x) = 0 \wedge f'''(x) \ne 0\) so liegt ein Wendepunkt vor. Ist zusätzlich noch \(f'(x) = 0\), so spricht man von einem Sattelpunkt (= Wendepunkt mit waagerechter Tangente). Für alle Werte von \(x\) mit \(f''(x) > 0\) ist die Funktion linksgekrümmt, für alle Werte mit \(f''(x) < 0\) ist die Funktion rechtsgekrümmt.

\(f''(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 4 = 0 \)

Diese Gleichung hat die Lösungen \(x_1= \sqrt{\frac{4}{3}}\), \(x_2= -\sqrt{\frac{4}{3}}\). Für beide Werte ist die dritte Ableitung \(f'''(x) = 6x \ne 0\). Durch Einsetzen in die Funktionsgleichung \(f(x)\) erhält man die zugehörigen y-Koordinaten der Wendepunkte: \(WEP_1(\sqrt{\frac{4}{3}}| − \frac{161}{36})\), \(WEP_2(-\sqrt{\frac{4}{3}}|− \frac{161}{36})\). Aus dem Verhalten gegen \(\pm \infty\), dem Monotonieverhalten und der Lage der Wendepunkte kann man herleiten, dass \(f(x)\) in den Intervallen von \((- \infty; -\sqrt{\frac{4}{3}})\) und \((\sqrt{\frac{4}{3}}; \infty)\) linksgekrümmt ist und im Intervall von \((-\sqrt{\frac{4}{3}}; \sqrt{\frac{4}{3}})\) rechtsgekrümmt.


- Wertetabelle und Graph -
Zeichnen Sie nun die schon bestimmten Nullstellen, Asymptoten, Extrema und Wendepunkte in das Koordinatensystem ein. Zum genaueren Zeichnen des Graphen sollte eine Wertetabelle angelegt werden, in der Funktionswerte für bestimmte \(x\)-Werte berechnet werden. Tragen Sie diese Punkte nun auch in das Koordinatensystem ein und skizzieren Sie den Graphen unter Berücksichtigung des Monotonie- und Krümmungsverhaltens.

Man berechnet sich sinnvolle zusätzliche Punkte zum Zeichnen des Graphen (hier kann man auch die Symmetrie des Graphen ausnutzen), z.B.:

\(f(1) = f(-1) = \frac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^2 - \frac{9}{4} = -4\)
\(f(3,25) = f(-3,25) = \frac{1}{4} \cdot (3,25)^4 - 2 \cdot (3,25)^2 - \frac{9}{4} \approx 4,52 \)

Schließlich zeichnet man den Graphen: