\(f\) ist stetig und nimmt daher ihr Maximum \(M\) und ihr Minimum \(m\) im Intervall \([x, x+h]\) an. Also gilt:

\(m\cdot h\le \int\limits_{x}^{x+h} f(t)\;dt \le M\cdot h \)

Unter Verwendung von

\(\int\limits_{x}^{x+h} f(t)\;dt = F_a(x+h) - F_a(x)\)

und durch Division durch \(h\) ergibt sich:

\(m\le \frac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h}\le M\).

Auf Grund der Stetigkeit von \(f\) konvergieren bei Grenzübergang \(h\to 0\) sowohl Maximum \(M\) und Minimum \(m\) gegen \(f(x)\). Es gilt also:

\(\lim\limits_{h\to 0}\frac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h} = f(x)\).