Mit Hilfe der Definition lässt sich eine Ableitungsregel für Funktionen \(f\) herleiten, die selbst Summe zweier Funktionen \(u\) und \(v\) sind: \[f(x)=u(x)+v(x)\]
Wir betrachten dazu den Differentialquotienten an einer beliebigen Stelle \(x_0\).
\[ \begin{align*} f'(x_0) &= \lim\limits_{x \to x_0} \frac{ f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim\limits_{x \to x_0} \frac{ (u(x) + v(x)) - (u(x_0) + v(x_0))}{x - x_0} \\ &= \lim\limits_{x \to x_0} \frac{ u(x) - u(x_0) + v(x) - v(x_0) }{x - x_0} \\ &= \lim\limits_{x \to x_0} \frac{ u(x) - u(x_0)}{x - x_0} + \lim\limits_{x \to x_0} \frac{ v(x) - v(x_0)}{x - x_0} = u'(x_0) + v'(x_0) \end{align*}\]
Dabei wurde verwendet, dass:
\[ \lim\limits_{x \to x_0} {(f(x) \pm g(x))} = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) \pm \lim\limits_{x \to x_0} g(x) \]
Sind \(u\) und \(v\) differenzierbare Funktionen, so gilt: \[ f(x)=u(x)+v(x) \Rightarrow f'(x)=u'(x)+v'(x) \]
Anschaulich lässt sich diese Regel mit Hilfe der Steigungsdreiecke verdeutlichen:
