Mit Hilfe der Definition lässt sich eine Ableitungsregel für Funktionen \(f\) herleiten, die sich als Quotient zweier Funktionen \(u\) und \(v\) darstellen lässt: \[f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \]

Wir betrachten dazu den Differentialquotienten an einer beliebigen Stelle \(x_0\), wobei \( v(x_0)\neq 0 \).

\[ \begin{align*} f'(x_0) &= \lim\limits_{x \to x_0} \frac{ f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{ \frac{u(x)}{v(x)} - \frac{u(x_0)}{v(x_0}}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\frac{u(x) v(x_0)}{v(x) v(x_0)}-\frac{u(x_0) v(x)}{v(x_0 v(x))}}{x - x_0} \\ &=\lim\limits_{x \to x_0} \frac{1}{v(x) v(x_0)}\cdot \frac{u(x) v(x_0) - u(x_0) v(x)}{x - x_0}\\ &=\lim\limits_{x \to x_0} \frac{1}{v(x) v(x_0)}\cdot \lim\limits_{x \to x_0} \frac{u(x) v(x_0) - u(x_0) v(x)}{x - x_0} \\ &= \frac{1}{v(x_0) v(x_0)}\cdot \lim\limits_{x \to x_0} \frac{u(x) v(x_0) - u(x_0)v(x_0) + u(x_0)v(x_0) - u(x_0) v(x)}{x - x_0} \\ &= \frac{1}{|v(x_0)|^2} \cdot \left( \lim\limits_{x \to x_0} \frac{u(x) v(x_0) - u(x_0)v(x_0)}{x - x_0} + \lim\limits_{x \to x_0} \frac{u(x_0)v(x_0) - u(x_0) v(x)}{x - x_0} \right) \\ &= \frac{1}{|v(x_0)|^2} \cdot \left( v(x_0)\cdot \lim\limits_{x \to x_0} \frac{u(x) - u(x_0)}{x - x_0} + u(x_0) \cdot \lim\limits_{x \to x_0} \frac{v(x_0) - v(x)}{x - x_0} \right) \\ &= \frac{1}{|v(x_0)|^2} \cdot \left( v(x_0)\cdot \lim\limits_{x \to x_0} \frac{u(x) - u(x_0)}{x - x_0} - u(x_0) \cdot \lim\limits_{x \to x_0} \frac{v(x) - v(x_0)}{x - x_0} \right) \\ &= \frac{1}{|v(x_0)|^2} \cdot (v(x_0)u'(x_0) - u(x_0)v'(x_0)) = \frac{v(x_0)u'(x_0) - u(x_0)v'(x_0)}{|v(x_0)|^2} \end{align*}\]