Mit Hilfe der Definition lässt sich eine Ableitungsregel für Funktionen \(f\) herleiten, die durch die Verkettung zweier Funktionen \(u\) und \(v\) definiert sind: \[f(x) = (u\circ v)(x) = u(v(x))\]
Wir betrachten dazu den Differentialquotienten von \(f\) an einer beliebigen Stelle \(x_0\). Dabei sei \(v\) differenzierbar in \(x_0\) und \(u\) sei differenzierbar an der Stelle \(v(x_0)\). Es wird versucht, den Differentialquotienten von \(f\) durch die Differentialquotienten von \(u\) und \(v\) auszudrücken.
\[ \frac{ f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{u(v(x)) - u(v(x_0))}{x - x_0} = \frac{u(v(x)) - u(v(x_0))}{v(x) - v(x_0)} \cdot \frac{v(x) - v(x_0)}{x - x_0} \]
Dann gilt:
\[ \begin{align*} f'(x_0) &= \lim\limits_{x \to x_0} \frac{ f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{u(v(x)) - u(v(x_0))}{v(x) - v(x_0)} \cdot \lim\limits_{x \to x_0} \frac{v(x) - v(x_0)}{x - x_0} \\ &= u'(v(x_0))\cdot v'(x_0) \end{align*}\]
Sind \(u\) und \(v\) differenzierbare Funktionen und \(f\) Verkettung dieser beiden Funktionen, so ist auch \(f\) differenzierbar und es gilt:
\[f(x) = (u\circ v)(x) = u(v(x)) \Rightarrow f'(x) = (u\circ v)'(x) = u'(v(x))\cdot v'(x)\]
(Das Bilden des Faktors \(v'(x)\) wird oft „Nachdifferenzieren“ genannt.)
Wählen wir \(u=f\) als äußere und \(v(x) = -x\) als innere Funktion, so ergibt sich:
\[ (u(-x))' = (u\circ v)'(x) = u'(v(x))\cdot v'(x) = u'(-x)\cdot (-1) = -u'(-x) \]
also gilt: \[ (f(-x))' = -f'(-x) \]
