Differenzieren mittels linearer Approximation

Beispiel:

Es sei

\[ f: \mathbb{R}\to \mathbb{R} \]

\[f(x)=x^3-2x^2+4x+2\]

\(x_0\) sei beliebig aber fest mit \(x:=x_0+h,\; h\in\mathbb{R}\), also \(h=x-x_0\).

Dann ist:

\[ \begin{align*} f(x) = f(x_0 +h) & = (x_0 +h)^3 - 2(x+h)^2 + 4(x+h) + 2 \\ & = x_0^3-2x_0^2+4x_0+2+(3x_0^2 - 4x_0 + 4)\cdot h + (3x_0 - 2)\cdot h^2 + h^3 \\ & = f(x_0)+(3x_0^2 - 4x_0 + 4)\cdot (x-x_0) + (3x_0 - 2)\cdot (x-x_0)^2 + (x-x_0)^3 \\ & = f(x_0)+ L\cdot (x-x_0) + (x-x_0)\cdot R (x-x_0) \end{align*}\]

mit

\[R (x-x_0) = (3x_0 - 2)\cdot (x-x_0) + (x-x_0)^2 \text{, wobei } \lim\limits_{x \to x_0} R(x-x_0) = 0\]

Damit ist die Funktion differenzierbar in \(x_0\) mit \(L=3x_0^2-4x_0+4\), was der bekannten Ableitung \(f'(x_0)\) entspricht.