Grundvorstellungen zur Steigung der Tangenten 

Der Vorstellung zur Tangentensteigung liegt die Tatsache zu Grunde, dass die Ableitung gerade die Steigung der Tangenten an einer Stelle eines Funktionsgraphs bestimmt. Tangenten kommen als Tangenten an Kreise zwar bereits im Geometrieunterricht der Sekundarstufe I vor; jedoch müssen die damit verbundenen Vorstellungen in der Sekundarstufe II erweitert werden.

Vom Beispiel der Kreistangente (und falls diese bekannt sind, auch von Tangenten an Ellipsen und Parabeln) bleibt bei Lernenden häufig der Eindruck erhalten, es sei die entscheidende Eigenschaft von Tangenten, dass sie den Graphen einer Kurve nur an einer Stelle berühren, die Kurve also nicht in einem weiteren Punkt schneiden und damit ausschließlich auf „einer Seite“ der Kurve verlaufen.

Beispiel: Kreis

Beispiel: Ellipse

Beispiel: Parabel

Als mögliches Gegenbeispiel dient die Tangente an den Graphen einer Polynomfunktion 3. Ordnung.

Beispiel: Polynomfunktion

Ebenso zu beachten sind Tangenten, die einen Funktionsgraphen in einem Wendepunkt schneiden und somit auch ohne einen weiteren Schnittpunkt „auf beiden Seiten“ des Graphen verlaufen. Des Weiteren wird das „Berühren“ an einer konvexen Stelle des Graphen oft fälschlicherweise überhaupt nicht als „Schnitt“ interpretiert.

Beispiel: Sinus

Hilfreich kann in diesem Zusammenhang die Vorstellung einer Schmieggeraden sein. Dabei wird die Tangente als eine Gerade verstanden, die sich dem Verlauf des Graphen lokal „anschmiegt“. Tangenten können den Graphen dabei (beliebig oft) berühren, bzw. schneiden.

Mit Hilfe der Tangentenvorstellung lassen sich wichtige Zusammenhänge erschließen – so etwas der zwischen Wert der Ableitung und dem Monotonieverhalten einer Funktion. 

Ein Gegenbeispiel bilden (abschnittsweise definierte) Funktionen, die (ganz oder teilweise) aus Geradenstücken bestehen. Funktionsgraph und Tangente stimmen hier in ganzen Intervallen überein.

Zu einer ausgeprägten Grundvorstellung der Tangentensteigung gehören insbesondere