Ist eine Funktion lokal linear, so bedeutet das, dass gilt: \( \delta x \sim \delta y \)

\( f‘(x_0) \) ist also in einer Umgebung von \( x_0 \) konstant.

Der Kern der Grundvorstellung der lokalen Linearität besteht darin, dass die Ableitung angibt, wie (mit welchem Faktor) sich kleine Veränderungen der unabhängigen Variablen (\( x \)) auf die abhängige Variable (\( y \)) auswirken.

Glatte Kurven als lokal geradlinig zu betrachten, ist eine Vorstellung, die bereits in der Sekundarstufe I vorbereitet wird und die zu einer Grundvorstellung für Differenzierbarkeit und Ableitung weiterentwickelt werden kann. Auf dieser Überlegung baut später beispielweise auch die Berechnung von Bogenlängen in der Integralrechnung auf.

Buch: Schließlich ist diese Vorstellung Grundlage vieler Anwendungen im Bereich der (mathematischen) Modellierung. Ein Wachstumsmodell für die zeitabhängige Größe einer Population ??(??) kann beispielsweise lokal, also in einem kleinen Zeitintervall, durch einen linearen Zusammenhang beschrieben werden. Es wird dann angenommen, dass der Zuwachs der Population proportional zur vorhandenen Population ist. Die Änderung des Wachstums wird durch die Ableitung beschrieben, und somit kann eine (lineare) Gleichung (aufgrund der Proportionalität des Zusammenhangs) für das Wachstumsmodell angesetzt werden: \( N\cdot c\cdot t = k\cdot N(t) \). Für kleine Zeitspannen gilt dann: \( \delta N = k\cdot Nt \cdot \delta t\).

Zu einer ausgeprägten Grundvorstellung der lokalen Linearität einer Funktion \( f: x\to y \) gehört insbesondere:

• Vergrößert man die Umgebung eines Kurvenpunktes sehr stark (optischer Zoom), so erscheint der Funktionsgraph geradlinig. (Differenzierbarkeit vorausgesetzt)
• Bezüglich kleiner Änderungen der unabhängigen Variable \((x)\) verhält sich die Funktion quasi linear, kann also durch eine lineare Funktion approximiert werden.