Beispiele für die elementare Berechnung der Ableitung einer Funktion durch das Ansetzen des Differenzenquotienten und das anschließende Durchführen des Grenzübergangs.
Die Ableitung der Geraden mit der Gleichung \( f(x) = m x + t \) ist die Steigung m:
\[ \begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \frac{ f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} & = \lim\limits_{h \to 0} \frac{ (m(x_0 + h) + t) - (m x_0 + t)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \frac{m h}{t} = m \end{align} \]
Beispiel: Ableitung Gerade
Ableitung der Normalparabel mit der Gleichung \( f(x) = x^2 \):
\[ \begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \frac{ f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} & = \lim\limits_{h \to 0} \frac{ (x_0 + h)^2 - (x_0)^2}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2 x_0 h + h^2}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} (2 x_0 + h )=2 x_0 \end{align} \]
\[ \begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \frac{ f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} & = \lim\limits_{h \to 0} \frac{ (x_0 + h)^2 - (x_0)^2}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2 x_0 h + h^2}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} (2 x_0 + h )=2 x_0 \end{align} \]
Beispiel: Ableitung Normalparabel
Ableitung der Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{x}\):
\[ \begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \frac{ f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} & = \lim\limits_{h \to 0} \frac{ \sqrt{x_0 + h} - \sqrt{x_0}}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \frac{ \left( \sqrt{x_0 + h} - \sqrt{x_0} \right) \left( \sqrt{x_0 + h} + \sqrt{x_0} \right) } {h \left( \sqrt{x_0 + h} + \sqrt{x_0} \right)} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \frac{( x_0 + h )- x_0} {h \left( \sqrt{x_0 + h} + \sqrt{x_0} \right)} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h} {h \left( \sqrt{x_0 + h} + \sqrt{x_0} \right)} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \frac{1} {\sqrt{x_0 + h} + \sqrt{x_0}} = \frac{1}{2\sqrt{x_0}} \end{align} \]
Beispiel: Ableitung Wurzelfunktion
Dieses Berechnungs-Verfahren ist prinzipiell für alle Polynomfunktionen (und andere) möglich. Grenzen ergeben sich dabei lediglich aufgrund der Komplexität der Terme.