In einem nächsten Schritt kann man Variable verwenden.
Für funktionales Denken ist das Entdecken von Zusammenhängen grundlegend. Wir wollen das am Beispiel des Quadrats zeigen.
Ausgangsfrage: Besteht eine Beziehung zwischen Seitenlänge und Umfang des Quadrats?
1. Beobachtung
An dem Quadrat kann man die Seitenlänge a durch Ziehen ändern. Das Programm gibt Seitenlänge a und Umfang U aus.
Beobachtung: Ändert man a, so ändert sich auch U.
Man kann die angezeigten Zahlen auf die vorhandene Zuordnung zwischen ihnen betrachten, aber auch im Hinblick auf das Änderungsverhalten.
2. Beschreibung der Zuordnung
Wir können die Zuordnung zunächst sprachlich mit der Pfeilschreibweise ausdrücken.
Seitenlänge \( \to \) Umfang
\( a \to U \)
Schließlich kann man den beobachteten Zusammenhang mit Hilfe einer Funktionsgleichung beschreiben.
\( U = 4a \)
Wir sehen, wie sich die Ausdrucksweise entwickelt und immer mehr Information liefert.
3. Beschreibung des Änderungsverhaltens
Ändert man am Quadrat die Seitenlänge, dann erkennt man sofort: Vergrößert man die Seitenlänge, so vergrößert sich auch der Umfang. Es besteht also Monotonie.
Man schaut genauer hin und prüft auf Proportionalität. Auch sie scheint vorzuliegen.
Das bedarf allerdings einer genaueren Prüfung.
4. Nachweis der Proportionalität
Die gefundene Gleichung U = 4a hilft uns, die Beobachtung zu erklären, dass z.B. eine Verdopplung der Seitenlänge auch zu einer Verdopplung des Umfangs führt.
Ausgangssituation: \( U_0 = 4a_0 \),
Verdopplung: \( U_1 = 4(2a_0) = 2(4a_0) = 2U_0 \),
Endsituation: \( U_1 = 2U_0 \).
Das ist hier recht formal dargestellt, es lässt sich häufig anschaulicher behandeln. Doch wird dabei deutlich, wie man mit Hilfe von Funktionen argumentieren kann.
5. Zusammenhang zwischen Seitenlänge und Flächeninhalt
Beim Ziehen an der Ecke des Quadrats kann man auch ablesen, wie sich der Flächeninhalt A des Quadrats ändert. Nun gilt: \( A = a^2 \). Das kann man an den Zahlen überprüfen.
Die Zuordnung \( a \to A \) ist nicht proportional, sondern quadratisch: Zur doppelten Seitenlänge gehört der vierfache Flächeninhalt.