Gegeben sei Dreieck \( \Delta ABC \) mit den Eckenpunkten A(0,0), B(5,0) und C(3,5). In diesem Dreieck ist ein kleines Dreieck \( \Delta DGF \) einbeschrieben, dessen einer Eckpunkt D auf der Strecke [A,B] liegt. Die Parallele zur x- Achse mit der Funktionsgleichung \( h(x) = a \) für \( 0\le a\le 5 \) schneidet die Gerade f durch A und C im Punkt F und die Gerade g durch B und C im Punkt G.

1. Änderungsaspekt:

   Wie ändert sich der Flächeninhalt A des kleinen Dreiecks bei Variation von a?

2. Zuordnungsaspekt:

   In welchem Verhältnis steht der maximale Flächeninhalt des kleinen Dreiecks zum Flächeninhalt des großen Dreiecks?

3. Objektaspekt:

   Durch welche Funktionsart lässt sich der Zusammenhang zwischen a und dem Flächeninhalt des kleinen Dreiecks beschreiben. Stellt die Funktionsgleichung auf.

Lösung: Aufgabe Dreieck im Dreieck

1. Anhand des Applets lässt sich folgende Monotonieaussage treffen: Für wachsendes a nimmt der Flächeninhalt zu. Bei a = 2,5cm erreicht der Flächeninhalt ein Maximum. Danach nimmt der Flächeninhalt für wachsendes a wieder ab. Darüber hinaus kann erkannt werden, dass das Wachstum nicht gleichmäßig verläuft, sondern dass das Wachstum langsamer wird, wenn sich a 2,5cm annähert.
2. Das kleine Dreieck erreicht bei a = 2,5cm einen maximalen Flächeninhalt von 3,125cm. Das entspricht gerade einem viertel vom Flächeninhalt des großen Dreiecks.
3. Der Zusammenhang lässt sich durch eine quadratische Funktion beschreiben:

   \[ f(x)=\frac{5}{2}x \]

   \[ g(x)=-\frac{5}{3}x+\frac{25}{3} \]
   Höhe des Dreiecks \( {{h}_{\vartriangle }}=a. \) Grundseite des Dreiecks \( {{g}_{\vartriangle }}=c-b \) mit \( g(c)=a \) und \( f(b)=a. \)

   Es folgt \( c=-\frac{3}{5}a+5 \) und \( b=\frac{5}{2}a.\)

   Als Flächeninhaltsfunktion folgt \( {{A}_{\vartriangle }}(a)=\frac{1}{2}{{h}_{\vartriangle }}{{g}_{\vartriangle }}=-\frac{1}{2}{{a}^{2}}+\frac{5}{2}a. \)