Die folgende Aufzählung zeigt die historische Entwicklung des Funktionsbegriffs orientiert an berühmten Mathematikern:

1. LEONHARD EULER (1707–1783) 

   Bei ihm finden sich um 1750 zwei verschiedene Erklärungen des Funk­tions­begriffs:

   a) Funktion y ist jeder „analytische Ausdruck“ in x.

   b) y(x) wird im Koordinatensystem durch eine „libero manu ductu“ (frei­händig­) gezeichnete Kurve definiert.

2. JOSEPH LOUIS LAGRANGE (1736–1813) schränkt um 1800 den Funk­tions­begriff ein auf die „analytischen Funktionen“, die durch Potenzrei­hen defi­niert sind.

3. JEAN-BAPTISTE FOURIER (1768–1830) findet über Wärmeleitungspro­bleme wieder zu einer stärkeren Betonung der zweiten eulerschen Definition.

4. PETER GUSTAV LEJEUNE DIRICHLET (1805–1859) arithmetisiert diesen verallgemeiner­ten Funktionsbegriff: „Ist in einem Intervalle jedem einzelnen Werte x durch irgendwelche Mittel ein bestimmter Wert y zugeordnet, dann soll y eine Funktion von x heißen.“

5. Funktionsbegriff der komplexen Funktionentheorie: AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (1789–1857), BERNHARD RIEMANN (1826–1866), KARL WEIERSTRASS (1815–1897). CAUCHY und RIEMANN betrachten analyti­sche Funktionen als Lösungen von Differentialgleichungen, während WEIERSTRASS den Zugang über Potenzreihen wählt.

6. Stärkere Betrachtung unstetiger Funktionen.

7. GEORG CANTOR (1845–1918) gibt dem Funktionsbegriff die mengen­theo­retische Fassung.